容斥问题二
一、知识点
1、集合与元素：把一类事物的全体放在一起就形成一个集合。每个集合总是由一些成员组成的，集合的这些成员，叫做这个集合的元素。
如：集合A={0，1，2，3，……，9}，其中0，1，2，…9为A的元素。
2、并集：由所有属于集合A或集合B的元素所组成的集合，叫做A，B的并集，记作A∪B，记号“∪”读作“并”。A∪B读作“A并B”，用图表示为图中阴影部分表示集合A，B的并集A∪B。
例：已知6的约数集合为A={1，2，3，6}，10的约数集合为B={1，2，5，10}，则A∪B={1，2，3，5，6，10}
3、交集：A、B两个集合公共的元素，也就是那些既属于A，又属于B的元素，它们组成的集合叫做A和B的交集，记作“A∩B”，读作“A交B”，如图阴影表示：
例：已知6的约数集合A={1，2，3，6}，10的约数集合B={1，2，5，10}，则A∩B={1，2}。
4、容斥原理（包含与排除原理）：
（用|A|表示集合A中元素的个数，如A={1，2，3}，则|A|=3）
原理一：给定两个集合A和B，要计算A∪B中元素的个数，可以分成两步进行：
第一步：先求出∣A∣+∣B∣（或者说把A，B的一切元素都“包含”进来，加在一起）；
第二步：减去∣A∩B∣（即“排除”加了两次的元素）
总结为公式：|A∪B|=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣
原理二：给定三个集合A，B，C。要计算A∪B∪C中元素的个数，可以分三步进行：
第一步：先求∣A∣+∣B∣+∣C∣；
第二步：减去∣A∩B∣，∣B∩C∣，∣C∩A∣；
第三步：再加上∣A∩B∩C∣。
即有以下公式：
∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣-∣A∩B∣-∣B∩C∣- |C∩A|+|A∩B∩C∣
二、例题分析：
例1 求不超过20的正整数中是2的倍数或3的倍数的数共有多少个。
分析：设A={20以内2的倍数}，B={20以内3的倍数}，显然，要求计算2或3的倍数个数，即求∣A∪B∣。
解1：A={2，4，6，…20}，共有10个元素，即|A|=10
B={3，6，9，…18}，共有6个元素，即|B|=6
A∩B={既是2的倍数又是3的倍数}={6，12，18}，共有3个元素，即|A∩B|=3
所以∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣=10+6-3=13，即A∪B中共有13个元素。
解2：本题可直观地用图示法解答
如图,其中,圆A中放的是不超过20的正整数中2的倍数的全体;圆B中放的是不超过20的正整数中3的倍数的全体,其中阴影部分的数6,12,18是既是2的倍数又是3的倍数的数(即A∩B中的数)只要数一数集合A∪B中的数的个数即可。
例2 某班统计考试成绩，数学得90分上的有25人；语文得90分以上的有21人；两科中至少有一科在90分以上的有38人。问两科都在90分以上的有多少人？
解：设A={数学成绩90分以上的学生}
B={语文成绩90分以上的学生}
那么，集合A∪B表示两科中至少有一科在90分以上的学生，由题意知，
∣A∣=25，∣B∣=21，∣A∪B∣=38
现要求两科均在90分以上的学生人数，即求∣A∩B∣，由容斥原理得
∣A∩B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∪B∣=25+21-38=8
点评：解决本题首先要根据题意，设出集合A，B，并且会表示A∪B，A∩B，再利用容斥原理求解。
例3 某班同学中有39人打篮球，37人跑步，25人既打篮球又跑步，问全班参加篮球、跑步这两项体育活动的总人数是多少？
解：设A={打篮球的同学}；B={跑步的同学}
则 A∩B={既打篮球又跑步的同学}
A∪B={参加打篮球或跑步的同学}
应用容斥原理∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣=39+37-25=51（人）
例4 求在不超过100的自然数中，不是5的倍数，也不是7的倍数有多少个？
分析：这个问题与前几个例题看似不相同，不能直接运用容斥原理，要计算的是“既不是5的倍数，也不是7的倍数的数的个数。”但是，只要同学们仔细分析题意，这只需先算出“100以内的5的倍数或7的倍数的数的个数。”再从100中减去就行了。
解：设A={100以内的5的倍数}
B={100以内的7的倍数}
A∩B={100以内的35的倍数}
A∪B={100以内的5的倍数或7的倍数}
则有∣A∣=20，∣B∣=14，∣A∩B∣=2
由容斥原理一有：∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣=20+14-2=32
因此，不是5的倍数，也不是7的倍数的数的个数是：100-32=68（个）
点评：从以上的解答可体会出一种重要的解题思想：有些问题表面上看好象很不一样，但经过细心的推敲就会发现它们之间有着紧密的联系，应当善于将一个问题转化为另一个问题。
